hihocoder [Offer收割]编程练习赛23 C H国的身份证号码II

题目链接:http://hihocoder.com/problemset/problem/1560

题意:求所有满足条件的数字个数,条件:首位不能为0,恰好n(n \leq 10^{12})位数,每一位的数要\leq k(k\leq 81)且相邻位的数之乘积\leq k

思路:我们设dp[i][j]为当前位数为i且存放j的方案数,那么我们很容易得到转移方程式:

dp[i][j]=\sum_{j\leq k \&\& l\leq k \&\& j*l\leq k}dp[i-1][l](0\leq j\leq min(9,k))

这样复杂度降到了O(n*10)很明显还是要炸,所以我们可以根据这个递推式来构造一个10*10的矩阵来进行矩阵加速,这样时间复杂度降到了O(10^{3}*log(n))就可做了。

#include <bits/stdc++.h>
#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define MC(x,y) memcpy(x,y,sizeof(x))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int P=1000000007;
ll n;
int k,ans;
const int G=10;
struct matrix{
    int v[G][G];
    void O(){MS(v,0);}
    void E(){MS(v,0);for(int i = 0; i < G; ++i)v[i][i] = 1; }
    void print(){
        for (int i=0;i<G;i++){
            for (int j=0;j<G;j++){
                printf("%d ",v[i][j]);
            }
            puts("");
        }
    }
    matrix operator*(const matrix &b)const{
        matrix c;c.O();
        for (int k=0;k<G;k++){
            for (int i=0;i<G;i++)if(v[i][k]){
                for (int j=0;j<G;j++){
                    c.v[i][j]=(c.v[i][j]+(ll)v[i][k]*b.v[k][j])%P;
                }
            }
        }
        return c;
    }
    matrix operator+(const matrix &b)const{
        matrix c;c.O();
        for (int i=0;i<G;i++){
            for (int j=0;j<G;j++){
                c.v[i][j]=(v[i][j]+b.v[i][j])%P;
            }
        }
        return c;
    }
    matrix operator^(ll p)const{
        matrix y; y.E();
        matrix x; memcpy(x.v,v,sizeof(v));
        while (p){
            if (p&1) y=y*x;
            x=x*x;
            p>>=1;
        }
        return y;
    }
}a,b;
int main(){
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    int limit=min(9,k);
    for (int i=1;i<=limit;i++) a.v[0][i]=1;
    for (int i=0;i<=limit;i++){
        for (int j=0;j<=limit;j++)if (i*j<=k){
            b.v[i][j]=1;
        }
    }
    a=a*(b^(n-1));
    for (int i=0;i<=limit;i++) ans=(ans+a.v[0][i])%P;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

发表评论

电子邮件地址不会被公开。 必填项已用*标注